유체운동학 / 레이놀즈 수송정리 / 라이프니츠 공식 적분형 (Reynolds transport theorem - Leibniz rule for integrals)

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사전지식 :

1. 미적분의 기본정리 2 (2nd fundamental theorem of calculus)

2. 평균값의 정리 (Mean value theorem)

3. 레이놀즈 수송 이론

 

목표: 1차원 leibniz공식을 이해하고 3차원으로 확장시켜 레이놀즈 수송 이론 (이하 RTT 라 함)을 이해해보자. 

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1차원 Leibniz 공식:

$$ {d \over dt} \int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\, dx = \int_{a}^{b} \partial_t f(b, t)\, dx + f(b,t) {db \over dt} -f(a,t) {da \over dt} $$

 

3차원 Leibniz 공식:

$$ {d \over dt} \int_{v(t)}^{} f(x, y, z, t)\, dv = \int_{v(t)}^{} {\partial f \over \partial t}\, dv + \int_{A(t)}^{} f \vec{V_A} \cdot \vec{n} \, dA $$

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해당 식이 있다고 해보자.

$$ G(x, t) = \int_{a(t)}^{b(t)} f(x, t)\, dx $$

G' 에 대하여 기술하여 뒤의 f식까지 미분시켜 쭉쭉 써보면

$$ {dG(x, t) \over dt} = \lim_{ \triangle t \to 0} {G(x, t + \triangle t) - G(x, t) \over \triangle t} $$

 

 

$$ = \lim_{\triangle t \to 0} {1 \over \triangle t} \left ( \int_{a + \triangle a}^{b + \triangle b} f(x, t + \triangle t)\, dx - \int_{a}^{b} f(x,t) \ dx \right ) $$ $$ \begin{matrix} \lim_{\triangle t \to 0} { 1 \over \triangle t } \left( \int_{a + \triangle a}^{a} f(x, t + \triangle t)\, dx + {\color{Red}\int_{a}^{b} f(x, t + \triangle t)\, dx } \\ + {\color{Green} \int_{b}^{b + \triangle b} f(x, t + \triangle t)\, dx } - {\color{Red} \int_{a}^{b} f(x, t)\, dx } \right) \end{matrix} $$

 

빨간색 적분기호로 표시된 부분을 하나로 묶어 줄 수 있으므로

 

$$ \begin{matrix} \lim_{\triangle t \to 0} { 1 \over \triangle t } \left( \int_{a}^{b} f(x, t + \triangle t) - f(x, t)\, dx + \int_{b}^{b + \triangle b} f(x, t + \triangle t)\, dx \\ - \int_{a + \triangle a}^{a} f(x, t + \triangle t)\, dx \right) \end{matrix} $$

 

이렇게 표현되는데, 여기서 잠깐 쉬어주고,

중간값의 정리에 의하면

 

$$ f'(c) = {(f(b) - f(a)) \over (b - a)} \rightarrow f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) $$

 

이므로 위에서 초록색 적분기호로 표시된 b부터 b + △b까지의 적분식을 끌고 와서

미적분의 제2 기본정리를 적용시켜 보자... 어째 초록색이 잘 안 보이는 거 같다.

 

 

$$ \int_{b}^{b + \triangle b} f(x, t + \triangle t)\, dx = F(x, b + \triangle b) - F(x, b) = f(c,t)(b + \triangle b - b) = f(c, t)\triangle b $$

 

방금 바로 위에 넣은 c 는, b와 (b + △b) 사이의 값이므로,

어짜피 b 넣은 거랑 동일하게 취급이 가능하다.

 

 

$$ \lim_{\triangle t \to 0} f(c,t) \triangle b \rightarrow f(b ,t) \triangle b $$

 

마찬가지로 a에서  (a + △a) 부분의 적분에 대하여 정리하면

 

 

$$ \int_{a}^{a + \triangle a} f(x, t + \triangle t)\, dx = f(c, t)\triangle a$$ $$ \lim_{\triangle t \to 0} f(c, t)\triangle a \rightarrow f(a, t) \triangle a $$

 

따라서 중간값의 정리와 미적분의 제 2기본정리에 의해 정리된 이 두개의 식을 이용하여,

 

 

$$ \begin{matrix} \lim_{\triangle t \to 0} { 1 \over \triangle t } \left( \int_{a}^{b} f(x, t + \triangle t) - f(x, t)\, dx + f(b, t)\triangle b - f(a, t)\triangle a \right) \end{matrix} $$ $$ \begin{matrix} \lim_{\triangle t \to 0} \left( \int_{a}^{b} {f(x, t + \triangle t) - f(x, t) \over \triangle t} \, dx + f(b, t) { \triangle b \over \triangle t} - f(a, t) {\triangle a \over \triangle t} \right) \end{matrix} $$

 

위 식을 정리하면 최종적으로 구하고자 했던 목표식이 나오게 된다.

 

$$ {d \over dt} \int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\, dx = \int_{a}^{b} \partial_t f(b, t)\, dx + f(b,t) {db \over dt} -f(a,t) {da \over dt} $$

 

이것은 1차원에서의 이야기이므로 다변수함수인 3차원 leibniz 공식으로 확장시키자.

단순히 x, y, z, t 로 변수만 늘여서 배정해주면 된다.

 

 

$$ {d \over dt} \int_{v(t)}^{} f(x, y, z, t)\, dv = \int_{v(t)}^{} {\partial f \over \partial t}\, dv + \int_{A(t)}^{} f \vec{V_A} \cdot \vec{n} \, dA $$

 

v(t)는 움직이고(움직이거나) 변형하는 체적,

A(t)는 표면 (경계),

$\vec{V_A}$ 는 움직이는(또는 가만히 있는) 표면의 절대 속도이다.

 

유체역학적 입장에서,

종량적 상태량(extensive property)을 B라 정의해주고,

위 3차원 leibniz의 f 함수를

밀도와 강성적 상태량(intensive property, b = B / m)의 곱으로 표현해 주면 우리에게 익숙한 RTT가 튀어나오게 된다.

 

참고문헌: Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications, Third Edition In SI Units. Yunus A. Çengel, John M. Cimbala