유체운동학 / 유체 요소의 운동 또는 변형의 종류 (Kinematics or Group of deformation of fluid particles)

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사전지식: 텐서 $\epsilon_{ij}$에서 i는 요소의 면이나 선에 대해 수직인, 기준이 되는 축, j는 축화살표에 대해 수직인 힘이 작용되는 방향으로 생각하자.

 

목표: 유체요소의 지속적 행동을 변형률 텐서로 이해한다.

        유체요소의 회전율 벡터를 유도하여 와도(vorticity) 개념까지 확장시킨다.

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직교좌표계의 변형률 텐서:

 

$$ \epsilon_{ij} = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{1}{2} \left( {\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x} \right) & \frac{1}{2} \left( {\partial u \over \partial z} + {\partial w \over \partial x} \right) \\ \frac{1}{2} \left( {\partial v \over \partial x} + {\partial u \over \partial y} \right) & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{1}{2} \left( {\partial v \over \partial z} + {\partial w \over \partial y} \right) \\ \frac{1}{2} \left( {\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z} \right) & \frac{1}{2} \left( {\partial w \over \partial y} + {\partial v \over \partial z} \right) & \frac{\partial w}{\partial z} \end{pmatrix} $$

 

와도 벡터와 각속도벡터의 관계:

 

$$ \vec{\zeta} = 2\vec{\omega}$$

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유체역학에서 한 요소에 대하여 기술하는 것(Lagrange 기술방법)은,

대개 공학적 관심이 전체 '유동'이 선택된 CV(Control Volume)에 대해 어떻게 흘러가는지에 관심이 있다 보니

유동장에 대하여 기술하는 방법(Euler 기술방법) 보다 흔히 쓰는 방법은 아니다.

 

허나 그렇다고 단일 유체 요소의 추적이 안 쓰이는 것도 아니고, 기술을 하지 못하는 것도 아니기에 단일 유체 요소에 대한 고찰도 나름대로 의미가 있다.

 

유체의 운동에 관하여 생각해 볼 때, 위치나 속도가 보통 중요하게 고려되는데, 그 유체 요소의 모형과 변형방향에 대하여 생각해 볼 수도 있을 것이다.

 

유체 요소의 운동 또는 변형의 기본 형태

 직사각형 모양의 움직이는 유체요소가 위의 사진같이 있다고 해 보자.

pure rotation 이나 pure shearing motion은 재미없으므로 그냥 각 축의 면이 각각 임의의 각도로 tilt되는 케이스로 분석해보자. (바로 아래 그림)

만약 요소의 범위를 가로질러 속도가 어떤 기준축을 따라서 달라진다고 하면, 요소의 모서리들은 통일되게 움직이지는 않을 것이다. 이런 식으로 요소가 돌거나 왜곡된다.

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Deformation_(physics)

바로 위의 그림에서, u를 x축에서의 A점의 속도라 할 때, 점 A와 C는 각각 $u$와 $u + \frac{\partial u}{\partial y} dy \triangle t$의 속도를 가지게 된다. 

 

그러면 x위치값이 서로 차이가 날 테고,

$$ \triangle x_C - \triangle x_A = \frac{\partial u}{\partial y}dy \triangle t $$

 

$\bar{AC}$ 면에 연관된 각도 변화는, 각도 변화가 비교적 근사가 먹힐 정도로 적다면(small-angle approximation) 다음과 같이 표현된다.

$$ -\triangle \beta = {\triangle x_C -\triangle x_A \over dy} = \frac{\partial u}{\partial y} \triangle t  $$

 

사진에는 $\beta$ 로 각도가 나타나 있어서 익숙하게 $\theta_1$로 문자만 바꿔서 풀도록 하자. $(\beta = \theta_1)$

이 각도의 시간에 대한 변화율을 정의할 수 있다.

$$ \frac{d \theta_1}{dt} = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{\triangle \theta_1}{\triangle t} = -\frac{\partial u}{\partial y} $$

 

 

면 $\bar{AC}$에 대해서도 똑같이 각도의 시간에 대한 변화율로 표현해주면 (그림에서 $\alpha = \theta_2$)

$$ \frac{d\theta_2}{dt} = \frac{\partial v}{\partial x} $$

이다. 이때 v는 y축으로 진행하는 속도이다.

 

이렇게 각 면의 시간에 대한 변화율을 정의해주고 나면, 이 요소의 회전율(각속도)에 대해서도 적을 수 있다.

어느 한 점(요소)에서의 회전율은 면 AB와 면 AC의 평균 회전율로 정의한다.

$$ \omega_z = \frac{1}{2}\left( \frac{d\theta_1}{dt} + \frac{d\theta_2}{dt} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) $$

그렇다. 결과만 보면 그냥 속도성분의 외적(cross product)계산에 반이다. ^^

마찬가지로 xz평면에서 $\omega_y$와 yz평면에서 $\omega_x$ 에 대해서도 계산이 가능할 것이다.

 

그러면 각 축에서 구한 각속도로 각속도벡터를 구성할 수 있다.

$$ \vec{\omega} = \omega_x \hat{i} + \omega_y \hat{j} + \omega_z \hat{k} $$

또한 유체 입자의 회전을 나타내는 척도인 와도 벡터는, $\vec{\zeta} = \vec{\nabla} \times \vec{V} = curl(\vec{V})$ 이다 보니,

평균 회전율을 고려하느라 $\frac{1}{2}$ 만큼 각속도벡터가 와도벡터보다 작게 나온다. 하여 그냥 $\vec{\omega}$에 2만 곱해주면 와도(vorticity) 벡터가 된다.

$$ \vec{\zeta} = 2\vec{\omega}$$

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이어서 변형률에 대해 이야기를 해보자.

제일 상단 목표식에 써있는 텐서값들을 감을 잡기 위해서는

• 선형변형률 (Linear strain rate)
• 전단변형률 (shear strain rate)

에 대한 논의가 필요하다.

먼저 선형변형률은 단위 길이당 길이의 증가율로 정의한다.

초기 직사각형 요소에서 각 선이 길어진, 그리고 진행한 임의의 방향에 대해 계산이 필요,

 

$\epsilon_{xx} = \frac{\partial u}{\partial x}$, $\epsilon_{yy} = \frac{\partial v}{\partial y}$, $\epsilon_{zz} = \frac{\partial w}{\partial z}$

가 나오게 된다.

 

또한 한 면(또는 선)의 전단변형률은 그 점에서 처음에 수직으로 교차하는 두 직선 사이 각도의 감소율의 반이다. 

이렇게 정의하는 것은, 직사각형 요소에서 한 선분에 대해 힘을 가하면,

힘의 평형을 맞추기 위해 대칭되는 선에서 가한 힘에 대해 평행하고 반대방향인 힘이 작용하는 couple 을 이루기 때문이다. 물론 테일러근사로도 개념접근은 된다. 어떻게 접근하든 서울만 가면 된다.

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Shear_force#/media/File:Simple_shear_in_2D.svg

 

 

$strain = \triangle\theta_2 - \triangle\theta_1 $ 에서,

shear strain rate를 구해야 하므로

 

$$\frac{1}{2} {d(strain) \over dt} \equiv \epsilon_{xy} = \frac{1}{2} \left (\frac{d\triangle\theta_2}{dt}-\frac{d\triangle\theta_1}{dt} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) $$

이런 식으로 yz나 zx 평면에 대해서도 정의해 줄 수 있을 것이다.

 

그렇게 $\epsilon_{ij}$에 대해 변형률 텐서를 전단변형률의 정의를 고려하면서 각 행렬 성분에 배치해주면 끝이다.

$$ \epsilon_{ij} = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{1}{2} \left( {\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x} \right) & \frac{1}{2} \left( {\partial u \over \partial z} + {\partial w \over \partial x} \right) \\ \frac{1}{2} \left( {\partial v \over \partial x} + {\partial u \over \partial y} \right) & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{1}{2} \left( {\partial v \over \partial z} + {\partial w \over \partial y} \right) \\ \frac{1}{2} \left( {\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z} \right) & \frac{1}{2} \left( {\partial w \over \partial y} + {\partial v \over \partial z} \right) & \frac{\partial w}{\partial z} \end{pmatrix} $$

 

참고문헌: Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications, Third Edition In SI Units. Yunus A. Çengel, John M. Cimbala